MECÂNICA QUÂNTICA DIMENSIONAL POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI. [2.030]

MECÂNICA QUÂNTICA POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $T\colon {}t\mapsto -t$ ][ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $[H,T]=0,$ ][ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ]

\mathbf {S} \to T^{-1}\mathbf {S} T=-\mathbf {S} .

$]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ]

T=e^{-i\pi S_{y}}K

$]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ]

T^{2}=e^{-i\pi S_{y}}Ke^{-i\pi S_{y}}K=e^{-i2\pi S_{y}}K^{2}=(-1)^{2S}.

$]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

Em mecânica quântica, o teorema da degenerescência de Kramers afirma que, para cada autoestado de energia de um sistema simétrico por reversoẽs no tempo com spin total semi-inteiro, existe outro autoestado, de mesma energia, relacionado ao primeiro pela reversão no tempo. Em outras palavras, a degenerescência em cada nível de energia é um número par se o spin do sistema for semi-inteiro. O teorema recebeu o nome do físico holandês H. A. Kramers.

Em física teórica, a propriedade de "simetria por reversões no tempo" descreve a simetria das leis físicas sob uma transformação de reversão no tempo:

T\colon {}t\mapsto -t

Se o operador hamiltoniano comuta com o operador de reversão no tempo, isto é

[H,T]=0,

então para cada autoestado de energia $|n\rangle$ , o estado invertido no tempo $T|n\rangle$ também é um autoestado com a mesma energia. De maneira geral, esse estado reverso no tempo pode ser idêntico ao estado original, mas não em sistemas de spin semi-inteiro: a reversão no tempo reverte todos os momentos angulares, e a reversão de um spin semi-inteiro não pode produzir o mesmo estado (o número quântico nunca é zero).

Formulação matemática

Em mecânica quântica, a operação de reversão no tempo é representada por um operador antiunitário ${\textstyle T\colon {\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ agindo em um espaço de Hilbert ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ . Caso ${\textstyle T^{2}=-1}$ , então vale o seguinte teorema:

Teorema. Seja ${\textstyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ um operador antiunitário atuando em um espaço de Hilbert ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ , satisfazendo ${\textstyle T^{2}=-1}$ , e ${\textstyle v}$ um vetor em ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ . Então ${\textstyle Tv}$ é ortogonal a ${\textstyle v}$ .

Demonstração. Pela definição de operador antiunitário, ${\textstyle \langle Tu,Tw\rangle =\langle w,u\rangle }$ , onde ${\textstyle u}$ e ${\textstyle w}$ são vetores em ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ . Substituindo ${\textstyle u=Tv}$ e ${\textstyle w=v}$ e usando que ${\textstyle T^{2}=-1}$ , temos ${\textstyle -\langle v,Tv\rangle =\langle T^{2}v,Tv\rangle =\langle v,Tv\rangle ,}$ o que implica que ${\textstyle \langle v,Tv\rangle =0}$ .

Consequentemente, se um hamiltoniano ${\textstyle H}$ é simétrico por reversão de tempo, ou seja, se comuta com ${\textstyle T}$ , então todos os seus autoespaços de energia têm degenerescência par: aplicando ${\textstyle T}$ a um autoestado de energia arbitrário ${\textstyle |n\rangle }$ , obtemos outro autoestado de energia ${\textstyle T|n\rangle }$ que é ortogonal ao primeiro. A propriedade de ortogonalidade é crucial, pois significa que os dois autoestados ${\textstyle |n\rangle }$ e ${\textstyle T|n\rangle }$ representam diferentes estados físicos.

Para completar o teorema da degenerescência de Kramers, basta provar que o operador de reversão no tempo ${\textstyle T}$ agindo em um espaço de Hilbert com spin semi-inteiro satisfaz ${\textstyle T^{2}=-1}$ . Isso decorre do fato de que o operador spin ${\textstyle \mathbf {S} }$ representa um tipo de momento angular, e, como tal, deve inverter sua direção sob $�$ : $\mathbf {S} \to T^{-1}\mathbf {S} T=-\mathbf {S} .$ Concretamente, um operador ${\textstyle T}$ que tem esta propriedade é geralmente escrito como $T=e^{-i\pi S_{y}}K$ Onde ${\textstyle S_{y}}$ é o operador de spin ${\textstyle y}$ direção e ${\textstyle K}$ é o mapa de conjugação complexa na base de spin ${\textstyle S_{z}}$ .^[1] Sabendo que a matriz ${\textstyle iS_{2}}$ tem componentes reais na base $S_{z}$ , então $T^{2}=e^{-i\pi S_{y}}Ke^{-i\pi S_{y}}K=e^{-i2\pi S_{y}}K^{2}=(-1)^{2S}.$ Logo, para spins semi-inteiros ${\textstyle S={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},\ldots }$ , temos ${\textstyle T^{2}=-1}$ . Este sinal negativo é análogo ao que aparece quando se faz uma $2\pi$ rotação em sistemas com tais spins, como férmions .

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