MECÂNICA QUÂNTICA DIMENSIONAL POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI. [2.030]

MECÂNICA QUÂNTICA POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] ${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle$ $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

O teorema de Ehrenfest, nomeado a partir de Paul Ehrenfest, físico e matemático austríaco, relaciona a derivada do tempo do valor esperado para um operador na mecânica quântica para o comutador deste operador com o hamiltoniano do sistema. Isto é:

{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle

onde A é algum operador da mecânica quântica e $\langle A\rangle$ é seu valor esperado.

O Teorema de Ehrenfest é obviamente a Representação de Heisenberg da mecânica quântica, onde isto é apenas o valor esperado do momento da Equação de Heisenberg.

O teorema também é altamente relacionado com o Teorema de Liouville da mecânica hamiltoniana, que envolve os Parênteses de Poisson ao invés do comutador.

MECÂNICA QUÂNTICA POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $T_{c}\propto {\frac {1}{\sqrt {M}}}\quad {\text{e}}\quad {\frac {H_{c}}{T_{c}}}\approx {\text{constante}}$ $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

MECÂNICA QUÂNTICA POTENCIAL HARMÔNICA GENERALIZADA DE ANCELMO L. GRACELI.

[Gd* $G_{\mu \nu }\$ ] $G$ * $G_{\mu \nu }\$ / ${\mathcal {T}}$ $\psi$ [ $F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.$ ] [ ${\vec {A}}\ \$ $\phi \ \$ ] [ [ $F_{0}$ $\omega$ $\phi$ ] $\omega ={\sqrt {D/M}}$ , $]$ [ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

A teoria BCS é uma teoria de muitos corpos para explicar a supercondutividade em metais, desenvolvida em 1957 por John Bardeen, Leon Neil Cooper e John Robert Schrieffer. Eles receberam o Nobel de Física em 1972 por esse trabalho.

Resumo da teoria BCS

A base da teoria BCS foi a observação experimental de que a supercondutividade de muitos metais, como o estanho na Figura 1, apresenta uma forte dependência da temperatura crítica $T_{c}$ e do campo magnético crítico $H_{c}$ em relação à massa $�$ do isótopo metálico estudado:^[4]

T_{c}\propto {\frac {1}{\sqrt {M}}}\quad {\text{e}}\quad {\frac {H_{c}}{T_{c}}}\approx {\text{constante}}

Como a frequência angular $\omega$ da oscilação de uma massa $�$ em uma mola de constante $�$ é $\omega ={\sqrt {D/M}}$ , também tendo $\omega \propto 1/{\sqrt {M}}$ ,^[5] isso sugere que o mecanismo da supercondutividade deve envolver a interação com as vibrações da rede quantizadas (cujos quanta são chamados de fônons), que dependem da massa.

Pode-se imaginar o seguinte: um primeiro elétron altera a rede (ou uma vibração da rede) ao ceder energia, de modo que um segundo elétron (por exemplo, alterando sua trajetória ou absorvendo um fônon) ganha a mesma quantidade de energia.^[6] Isso só é possível se os íons da rede e os elétrons se moverem lentamente o suficiente (portanto, apenas abaixo de uma densidade de corrente crítica).

A ideia dos criadores da BCS é postular a formação de pares de Cooper a partir de dois elétrons por meio de uma interação atrativa fraca. Os elétrons, devido ao seu spin (s_e = 1/2), são férmions e, como tais, não podem ocupar o mesmo estado (princípio de exclusão de Pauli). Em contraste, os pares de Cooper com spin inteiro (estado singleto s=0 com spins antiparalelos ou estado tripleto s=1 com spins paralelos) se comportam como bósons em processos nos quais mantêm sua identidade, podendo ocupar simultaneamente o mesmo estado e, portanto, todos assumem o estado fundamental. Eles mantêm sua identidade apenas no condensado.^[7] Assim que as partículas são separadas do par de Cooper, elas se decompõem em dois elétrons, ou seja, em dois férmions. Se os pares de Cooper permanecerem no condensado, como em experimentos de corrente persistente ou efeitos Josephson, eles são bósons. Em todos os processos em que os pares de Cooper são excitados e se decompõem em elétrons (por exemplo, na interação com radiação cujos quanta são capazes de quebrar os pares), os elétrons resultantes são férmions.

Bardeen, Cooper e Schrieffer perceberam que tratar diretamente os pares de elétrons como bósons não é suficiente, pois sua extensão espacial é grande e eles se sobrepõem fortemente. Portanto, a supercondutividade não pode ser simplesmente descrita como uma condensação de Bose-Einstein. O desafio central era encontrar uma função de onda de muitos corpos adequada que descrevesse o comportamento coletivo dos pares de elétrons. Schrieffer forneceu a solução decisiva: ele descreveu a fase supercondutora como um estado coerente no qual um grande número de pares de elétrons ocupa sincronizadamente o mesmo estado quântico.^[8] Isso não é apenas energeticamente favorável, mas também leva a uma função de onda coerente macroscópica (função de onda de muitos corpos da BCS) que se estende por todo o sólido.^[9]

A função de onda BCS não pode mais ser afetada por obstáculos locais (núcleos atômicos e defeitos da rede em geral), garantindo assim um transporte de carga sem resistência. Isso impede a interação com o restante do metal e fundamenta as propriedades típicas de um supercondutor, como a resistência elétrica nula.

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